I. Phép cộng các phân thức đại số

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Bài 1: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

$\frac{-3}{5} + \frac{23}{5} = \frac{-3 + 23}{5} = \frac{20}{5} = 4$ 

Bài 2: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

$\frac{x - 2y}{x^2 + xy} + \frac{x + 2y}{x^2 + xy} = \frac{x - 2y + x + 2y}{x^2 + xy}$ 

= $\frac{(x + x) + (2y - 2y)}{x(x + y)}$ 

= $\frac{2x}{x(x + y)} = \frac{2}{x + y}$ 

2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Bài 3: Cho 2 phân thức: …

Quy đồng mẫu thức hai phân thức trên. 

Từ câu a hãy thực hiện phép tính …

Đáp án:

a) $MTC: (x + 1)(x – 1)$

$\frac{1}{x + 1} = \frac{(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$ 

$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$ 

b) Ta có: $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

= $\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$ 

= $\frac{x - 1+ x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}$ 

Bài 4: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

 $\frac{1}{x^2 + xy} + \frac{1}{xy + y^2} = \frac{1}{x(x + y)} + \frac{1}{y(x + y)}$

= $\frac{y}{xy(x + y)} + \frac{x}{xy(x + y)} = \frac{x + y}{xy(x + y)} = \frac{1}{xy}$  

3. Tính chất của phép cộng phân thức.

Bài 5: Hãy nêu các tính chất của phép cộng phân số.

Đáp án:

Phép cộng phân số có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với 0.

Với các số $a, b, c, d, e, g (b, d, g ≠ 0)$, ta có:

Giao hoán: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$

Kết hợp: $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{g} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{g})$

Cộng với 0: $\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

Bài 6: Tính một cách hợp lí: ...

Đáp án:

$\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + 2xy + y^2} + \frac{2y}{x + y} + \frac{1 - 2y^2}{x^2 + 2xy + y^2}$ 

= $\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + 2xy + y^2} + \frac{1 - 2y^2}{x^2 + 2xy + y^2} + \frac{2y}{x + y}$ 

= $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} + \frac{2y}{x + y}$ 

= $\frac{(x + y)(x - y)}{(x + y)^2} + \frac{2y}{x + y}$ 

= $\frac{x - y}{x + y} + \frac{2y}{x + y}$ 

= $\frac{x - y + 2y}{x + y}$ 

= $\frac{x + y}{x + y} = 1$ 

II. Phép trừ các phân thức đại số.

1. Quy tắc trừ hai phân thức.

Bài 1: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

a) $\frac{4x + 3y}{x^2 - y^2} - \frac{3x + 4y}{x^2 - y^2}$ = $\frac{4x + 3y - 3x - 4y}{(x+y)(x-y)}$ 

= $\frac{x - y}{(x + y)(x - y)} = \frac{1}{x + y}$ 

b) $\frac{2xy - 3y^2}{x^2 - 3xy} - \frac{x}{3x - 9y} = \frac{y(2x - 3y)}{x(x-3y)} - \frac{x}{3(x - 3y)}$

= $\frac{3y(2x - 3y)}{3x(x - 3y)} - \frac{x^2}{3x(x - 3y)} = \frac{3y(2x - 3y) - x^2}{3x(x - 3y)}$ 

= $\frac{6xy - 9y^2 - x^2}{3x(x - 3y)}$ = $-\frac{(x-3y)^2}{3x(x - 3y)} = -\frac{x - 3y}{3x} = \frac{3y - x}{3x}$

2. Phân thức đối

Bài 2: Tính một cách hợp lí:…

Đáp án:

$\frac{x - 5y}{2x - 3y} - \frac{24xy}{4x^2 - 9y^2} - \frac{x + 8y}{3y - 2x}$ = $\frac{x - 5y}{2x - 3y} - \frac{24xy}{(2x - 3y)(2x + 3y)} + \frac{x + 8y}{2x - 3y}$ 

= $\frac{2x + 3y}{2x - 3y} - \frac{24xy}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$ 

= $\frac{(2x + 3y)^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} - \frac{24xy}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$ 

= $\frac{(2x + 3y)^2 - 24xy}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$ = $\frac{4x^2 - 12xy + 9y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} = \frac{(2x - 3y)^2}{(2x - 3y)(2x+3y)}$ 

= $\frac{2x - 3y}{2x + 3y}$

III) Bài tập

Bài 1: Tính…

Đáp án:

a) $\frac{5x - 4}{9} + \frac{4x + 4}{9} = \frac{5x - 4 + 4x + 4}{9} = \frac{9x}{9} = x$

b) $\frac{x^2y - 6}{2x^2y} + \frac{6 - xy^2}{2x^2y} = \frac{x^2y - 6 + 6 - xy^2}{2x^2y}$ 

= $\frac{x^2y - xy^2}{2x^2y} = \frac{xy(x - y)}{2x^2y} = \frac{x - y}{2x}$

c) $\frac{x+1}{x^2 - 5x} + \frac{x - 18}{x^2 - 5x} + \frac{x + 2}{x^2 - 5x} = \frac{x + 1 + x - 18 + x + 2}{x^2 - 5x}$

= $\frac{3x - 15}{x(x - 5)} = \frac{3(x - 5)}{x(x - 5)} = \frac{3}{x}$

d) $\frac{7y}{3} - \frac{7y - 5}{3} = \frac{7y - 7y - 5}{3} = \frac{5}{3}$

e) $\frac{4x - 1}{3xy^2} -\frac{7x - 1}{3xy^2} = \frac{4x - 1 - 7x + 1}{3xy^2} = \frac{-3x}{3xy^2} = \frac{-1}{y^2}$

g) $\frac{3y - 2x}{x - 2y} - \frac{x - y}{2y - x} = \frac{3y - 2x}{x - 2y} + \frac{x - y}{x - 2y}$

= $\frac{3y - 2x + x - y}{x - 2y} = \frac{2y - x}{x - 2y} = -\frac{x - 2y}{x - 2y} = -1$ 

Bài 2: Tính…

Đáp án:

a) $\frac{4x + 2}{4x - 4} + \frac{3 - 6x}{6x - 6}$

= $\frac{2(2x + 1)}{4(x - 1)} + \frac{3(1 - 2x)}{6(x - 1)}$ = $\frac{6(2x + 1)}{12(x - 1)} + \frac{6(1 - 2x)}{12(x - 1)}$ = $\frac{6(2x + 1) + 6(1 - 2x)}{12(x - 1)}$ 

= $\frac{6(2x + 1 + 1 - 2x)}{12(x - 1)} = \frac{6.2}{12(x - 1)} = \frac{12}{12(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$ 

b) $\frac{y}{2x^2 - xy} + \frac{4x}{y^2 - 2xy}$

= $\frac{y}{x(2x - y)} + \frac{4x}{y(y - 2x)} = \frac{y}{x(2x - y)} - \frac{4x}{y(2x - y)}$ = $\frac{y^2 - 4x^2}{xy(2x - y)} = \frac{(y + 2x)(y - 2x)}{xy(2x - y)}$ 

= $-\frac{(2x - y)(2x + y)}{xy(2x - y)} = -\frac{2x + y}{xy}$ 

c) $\frac{x}{x - y} + \frac{y}{x + y} + \frac{2y^2}{x^2 - y^2}$

= $\frac{x}{x - y} + \frac{y}{x + y} + \frac{2y^2}{(x + y)(x - y)}$ 

= $\frac{x(x + y) + y(x - y) + 2y^2}{(x + y)(x - y)}$ 

= $\frac{x^2 + xy + xy - y^2 + 2y^2}{(x + y)(x - y)} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{(x + y)(x - y)}$

= $\frac{(x + y)^2}{(x + y)(x - y)} = \frac{x + y}{x - y}$

d) $\frac{x^2 + 2}{x^3 - 1} + \frac{x}{x^2 + x + 1}+ \frac{1}{1 - x}$

= $\frac{x^2 + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \frac{x}{x^2 + x + 1} - \frac{1}{x - 1}$

= $\frac{x^2 + 2 + x(x - 1) - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$

= $\frac{x^2 + 2 + x^2 - x - x^2 - x - 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$

= $\frac{(x-1)^2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x-1}{x^2 + x + 1}$

Bài 3: Tính…

Đáp án:

a) $\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1 - (x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{3}{(x - 2)(x + 1)}$

b) $\frac{12}{x^2 - 9} - \frac{2}{x - 3}$ = $\frac{12}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{2}{x - 3} = \frac{12 - 2(x+3)}{(x + 3)(x - 3)}$ 

= $\frac{12 - 2x - 6}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{6 - 2x}{(x + 3)(x - 3)} = -2(3 + x)(x + 3)(x - 3)= -2x + 3$ 

c) $\frac{1}{xy - x^2} - \frac{1}{y^2 - xy} = \frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)} = \frac{y - x}{xy(y - x)} = \frac{1}{xy}$

d) $\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{3}{2 + 2x} + \frac{1}{2 - 2x}$

= $\frac{2x}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{3}{2(x + 1)} - \frac{1}{2(x - 1)}$ = $\frac{4x - 3(x - 1) - (x+1)}{2(x + 1)(x - 1)}$ 

= $\frac{4x - 3x + 3 - x - 1}{2(x + 1)(x - 1)} = \frac{2}{2(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{(x + 1)( x - 1)}$ 

Bài 4: 

Rút gọn biểu thức: A = …

Tính giá trị của biểu thức A tại x = -3

Đáp án:

a) $A = \frac{2x^2 + 1}{x^3 + 1} + \frac{1 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

= $\frac{2x^2 + 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} + \frac{1 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 1}$  

= $\frac{2x^2 + 1 + (1 - x)(x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$ 

= $\frac{x + 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$ 

= $\frac{1}{x^2 - x + 1}$ 

b) Điều kiện xác định: $x^2 - x + 1 ≠ 0$.

Với $x = -3$ ta thấy $x^2 - x + 1 = (-3)^2 - (-3) + 1 = 13 ≠ 0$. (TMĐK)

Tại $x = -3$, giá trị của A là: $\frac{1}{(-3)^2 - (-3) + 1} = \frac{1}{13}$ 

Bài 5: Một xí nghiệp dự định sản xuất 10 000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện, xí nghiệp đã làm xong sớm hơn 1 ngày so với dự định và còn làm thêm được 80 sản phẩm. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Đáp án:

a) Biểu thức số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là: 10 000x(sản phẩm).
b) Trên thực tế, số sản phẩm xí nghiệp đã hoàn thành là:

$10 000 + 80 = 10 080$ (sản phẩm)

Số ngày xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là: $x – 1$ (ngày)

Biểu thức của số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế là: $\frac{10 080}{x - 1}$ (sản phẩm)

c) Biểu thức của số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là:

$\frac{10000}{x} - \frac{10080}{x - 1} = 80(\frac{125}{x} - \frac{126}{x - 1})$ 

= $80 . \frac{125x - 125 - 126x}{x(x - 1)} = \frac{-80x -10000}{x(x - 1)}$ (sản phẩm)

Bài 6: Người ta mở hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước. Thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đây bể ít hơn thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 2 giờ. Gọi x (giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình để đây bể. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ;

b) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ.

Đáp án:

a) Theo đề bài, thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể nhiều hơn thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 2 giờ.

Do đó, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: $x + 2$ (giờ).

Số phần bể vòi thứ nhất chảy được trong 1 giờ là $\frac{1}{x}$ (bể)

Số phần bể vòi thứ hai chảy được trong 1 giờ là $\frac{1}{x + 2}$ (bể)

b) Số phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ là:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{x + 2}{x(x + 2)} + \frac{x}{x(x + 2)} = \frac{x + 2 + x}{x(x + 2)} = \frac{2x + 2}{x(x + 2)}$ (bể).

Bài 7: Để hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên dự định trồng 120 cây xanh. Khi bắt đầu thực hiện, chi đoàn được tăng cường thêm 3 đoàn viên. Gọi x là số đoàn viên ban đầu của chi đoàn và giả sử số cây mỗi đoàn viên trồng là như nhau. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định;

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế;

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế

Đáp án:

a) Phân thức biểu thị số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định là $\frac{120}{x}$ (cây).

b) Vì chi đoàn được tăng thêm 3 đoàn viên. Vậy số đoàn viên của chi đoàn theo thực tế là: $x + 3$ (đoàn viên).

Phân thức biểu thị số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là $\frac{120}{x + 3}$ (cây).

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 3} = \frac{120(x + 3) - 120x}{x(x + 3)}$

= $\frac{120x + 360 - 120x}{x(x + 3)} = \frac{360}{x(x + 3)}$ (cây).

Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.

Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.
Bài 8: Gia đình cô Lương nuôi ba con lợn. Cả ba con lợn đều ăn cùng một loại thức ăn gia súc. Biểu đô cột ở Hình 2 biểu diễn số ngày mà mỗi con lợn ăn hết một bao thức ăn. Hỏi cả ba con lợn ăn trong x ngày thì cần bao nhiêu bao thức ăn?

Đáp án:

Con lợn thứ nhất ăn 3 ngày hết 1 bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ nhất ăn hết $\frac{1}{3}$ bao thức ăn.

Do đó, con lợn thứ nhất ăn trong x ngày hết $\frac{x}{3}$ bao thức ăn.

Con lợn thứ hai ăn 6 ngày hết 1 bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ hai ăn hết $\frac{1}{6}$ bao thức ăn.

Do đó, con lợn thứ hai ăn trong x ngày hết $\frac{x}{6}$ bao thức ăn.

Con lợn thứ ba ăn 4 ngày hết 1 bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ hai ăn hết $\frac{1}{4}$ bao thức ăn.

Do đó, con lợn thứ hai ăn trong x ngày hết $\frac{x}{4}$ bao thức ăn.

Cả ba con lợn ăn trong x ngày (x ∈ ℕ*) thì cần:

$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + \frac{x}{4} = \frac{4x}{12} + \frac{2x}{12} + \frac{3x}{12} = \frac{9x}{12} = \frac{3x}{4}$ (bao thức ăn).

Vậy cả ba con lợn ăn trong x ngày (x ∈ ℕ*) thì cần $\frac{3x}{4}$ bao thức ăn.