Bài 1: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

a) $\frac{x}{xy + y^2} - \frac{x}{x^2 + xy} = \frac{x}{y(x + y)} - \frac{x}{x(x + y)}$ 

= $\frac{x}{y(x + y)} - \frac{1}{x + y}$ = $\frac{x - y}{y(x + y)} = \frac{x - y}{xy + y^2}$ 

b) $\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} - \frac{x}{x + 2} - \frac{x}{2 - x}$

= $\frac{x^2 + 4}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$

= $\frac{x^2 + 4 - x(x - 2) + x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$ 

= $\frac{x^2 + 4 - x^2 + 2x + x^2 + 2x}{(x + 2)(x - 2)}$ 

= $\frac{x^2 + 4x + 4}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{(x + 2)^2}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x + 2}{x - 2}$

c) $\frac{a^2 + ab}{b-a} : \frac{a+b}{2a^2 - 2b^2}$

= $\frac{a(a+b)}{b-a} : \frac{a+b}{2(a+b)(a-b)}$ = $-\frac{a(a+b)}{a-b} : \frac{1}{2(a-b)}$ = $-\frac{a(a+b).2(a-b)}{a-b}$

= $-2a(a + b) = -2a^2 – 2ab$

d) $(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}) : \frac{4x}{10x-5}$

= $(\frac{(2x+1)^2-(2x-1)^2}{(2x+1)(2x-1)} . \frac{10x-5}{4x}$ 

= $\frac{(2x+1+2x-1)(2x+1-2x+1)}{(2x+1)(2x-1)} . \frac{5(2x-1)}{4x}$ 

= $\frac{4x.2}{2x+1} . \frac{5}{4x} = \frac{10}{2x+1}$ 

Bài 2: Cho biểu thức A =…

Viết điều kiện xác định của biểu thức A.

Chứng minh giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Đáp án:

a) ĐKXĐ của A là:

$2x – 2 ≠ 0; x^2 – 1 ≠ 0; 2x + 2 ≠ 0 \Rightarrow x≠1$ và $x≠-1$.

b) $A = (\frac{x+1}{2x-2} + \frac{3}{x^2-1} - \frac{x+3}{2x+2}) . \frac{4x^2 - 4}{5}$

= $(\frac{x+1}{2(x-1)} + \frac{3}{(x+1)(x-1)} - \frac{x+3}{2(x+1)}) . \frac{4(x+1)(x-1)}{5}$ 

= $\frac{(x+1)^2+6-(x+3)(x-1)}{2(x+1)(x-1)} . \frac{4(x+1)(x-1)}{5}$ 

= $[(x+1)^2 + 6 - (x+3)(x-1)] . \frac{2}{5}$ = $\frac{2}{5}[x^2+2x+1+6 - (x^2+2x-3)]$ 

= $\frac{2}{5} . 10 = \frac{20}{5} = 4$ 

Vậy với mọi giá trị x, A = 4 nên biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 3: Cho biểu thức B = …

Viết điều kiện xác định của biểu thức B. 

Rút gọn B và tính giá trị của biểu thức B tại x = 0,1

Tìm số nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.

Đáp án:

a) ĐKXĐ của biểu thức B là: $x^2 – 10x ≠ 0; x^2 + 10x ≠ 0; x^2 + 4 ≠ 0 \Rightarrow x≠0; x ≠ ± 10$.

b) $B = (\frac{5x+2}{x^2-10x} + \frac{5x-2}{x^2+10x}) . \frac{x^2-100}{x^2+4}$

= $[\frac{5x + 2}{x(x-10)} + \frac{5x-2}{x(x+10)}] . \frac{(x+10)(x-10)}{x^2+4}$

= $\frac{(5x+2)(x+10)+(5x-2)(x-10)}{x(x+10)(x-10)} . \frac{(x+10)(x-10)}{x^2+4}$ 

= $\frac{5x^2 +52x+20+5x^2-52x+20}{x} . \frac{1}{x^2+4}$ 

= $\frac{10x^2 + 40}{x(x^2+4)}$ 

= $\frac{10(x^2+4)}{x(x^2+4)} = 10x$ 

Thay x = 0,1 (TMĐK) vào biểu thức B, ta được: $\frac{10}{0,1} = 100$ 

c) Để biểu thức B nhận giá trị nguyên thì x ∈ Ư(10) = {±1; ±2; ±5; ±10}.

Mà trong đó x = ±10 (không TMĐK)

Nên x ∈ {±1; ±2; ±5} thì biểu thức B nhận giá trị nguyên

Bài 4: Hai người thợ cùng sơn một bức tường. Nếu một mình sơn xong bức tường thì người thứ nhất làm xong lâu hơn người thứ hai là 2 giờ. Gọi x là số giờ mà người thứ nhất một mình sơn xong bức tường. Viết phân thức biểu thị tổng số phần của bức tường sơn được mà người thứ nhất sơn trong 3 giờ và người thứ hai sơn trong 4 giờ theo x.

Đáp án:

Trong 1 giờ người thứ nhất sơn được $\frac{1}{x}$ bức tường.

Vậy trong 3 giờ người thứ nhất sơn được: $\frac{3}{x}$ bức tường.

Người thứ nhất làm xong lâu hơn người thứ hai là 2 giờ nên người thứ hai tự sơn xong bức tường trong $x – 2$ (giờ)

Vậy trong 1 giờ người thứ hai sơn được $\frac{1}{x-2}$ bức tường.

Vậy trong 4 giờ người thứ hai sơn được $\frac{4}{x-2}$ bức tường.

=> Phân thức biểu thị tổng số phần của bức tường sơn được mà người thứ nhất sơn trong 3 giờ, người thứ hai sơn trong 4 giờ là: $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-2} = \frac{7x-6}{x(x-2)} (phần bức tường).

Bài 5: Số tiền hằng năm A (triệu đô la Mỹ) mà người Mỹ chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà và dân số P (triệu người) hằng năm của Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 lần lượt được cho bởi công thức sau: A =…

Trong đó, t là số năm tính từ năm 2000, t = 0 tương ứng với năm 2000.

(Nguồn: U.S. Bureau oƒ Economic Analysis and U.S. Census Bureau)

Viết phân thức biểu thị (theo t) số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà.

Đáp án:

Phân thức biểu thị (theo t) số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho đồ ăn, đồ uống ở ngoài là:

$\frac{A}{P} = \frac{-8242,58t+348299,6}{(-0,06t+1)(2,71t + 282,7)}$