HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

HĐ1. Trang 57 sgk toán 8 tập 1

Trong hình 3.28, có một hình bình hành, đó là hình nào? Em có thể giải thích tại sao không?

Đáp án:

Hình c là hình bình hành, vì AD // BC; AB // CD

HĐ2. Trang 58 sgk toán 8 tập 1

Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em đã biết:

Đáp án:

Các cạnh đối song song và bằng nhau.

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Các góc đối bằng nhau.

HĐ3. Trang 58 sgk toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD (H3.30), chứng minh:…

Đáp án:

a) Xét ∆ABC và ∆CDA ta có:

$\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (so le trong)

Chung cạnh AC

$\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (so le trong)

$\widehat{ACB} = \widehat{DAC}$ (so le trong)

$\Rightarrow ∆ABC = ∆CDA (g.c.g)$

$\Rightarrow AB = CD;  BC = AD; \widehat{ABC} = \widehat{CDA}.$

b) Xét ∆ABD và ∆CDB có:

AB = CD (theo câu a)

$\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$ (so le trong)

chung cạnh BD

$\Rightarrow ∆ABD = ∆CDB (c.g.c) \Rightarrow \widehat{DAB} = \widehat{BCD}$

c) Xét ∆AOB và ∆COD có:

$\widehat{ABO} = \widehat{CDO}$ (so le trong)

AB = CD (theo câu a)

$\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆AOB = ∆COD (g.c.g) \Rightarrow  OB = OD; OA = OC.$

Luyện tập 1. Trang 58 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song…

Đáp án:

Xét tứ giác PANM ta có: PA // MN ; AN // PM ( gt)

$\Rightarrow$ PANM là hình bình hành.

I là trung điểm của PN $\Rightarrow$  I cũng là trung điểm của AM.

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Luyện tập 2. Trang 60 sgk toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD (AB >BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F…

Đáp án:

a) Ta có $\widehat{B} = \widehat{D}$ vì ABCD là hình bình hành

Mà DE và BF là tia phân giác của $\widehat{D}$ và $\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{FDE} = \widehat{FBE} = \widehat{CBF}$ 

$\widehat{AED} = \widehat{EDF}$ (so le trong) $\Rightarrow \widehat{AED} = \widehat{ADE}\Rightarrow  ∆AED$ cân tại A.

Chứng minh tương tự ta được  $\widehat{FBC} = \widehat{BFC} \Rightarrow ∆BCF$ cân tại C.

Xét ∆ADE và ∆CBF có:

$\widehat{AED} = \widehat{ADE} = \widehat{CBF} = \widehat{CFB}$ 

AD = BC 

$\Rightarrow ∆ADE = ∆CBF (g.c.g) \Rightarrow ED = BF$

b)$ \widehat{ EBF} = \widehat{FBC} = \widehat{ADE} = \widehat{EDF}$ 

∆FBC cân tại C $=> \widehat{FBC} = \widehat{CFB}$

$\widehat{CFB} = \widehat{EDF}$ ( hai góc đồng vị )

ED // BF

Vì ABCD là hình bình hành $\Rightarrow  EB // DF$

Do đó DEBF là hình bình hành.

Luyện tập 3. Trang 61 sgk toán 8 tập 1

Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB…

Đáp án:

Giải:

Xét tứ giác AB’A’B ta có: 

AA' và BB' là hai đường chéo của tứ giác

O là trung điểm của mỗi đường: 

AB’A’B là hình bình hành 

A'B' = AB và A'B' // AB .

Vận dụng. Trang 61 sgk toán 8 tập 1

Trở lại bài mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở.

Đáp án:

Gọi C là giao điểm của a và b. 

Lấy điểm D sao cho O là trung điểm của đoạn DC. 

Từ D vẽ đường thẳng song song với a, cắt b tại B.

Từ D vẽ đường thẳng song song với b, cắt a tại A 

Ta có AB và CD là hai đường chéo của hình bình hành ADBC

AB cắt CD tại O nên OA = OB.

Hình minh họa:

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 3.13. Trang 61 sgk toán 8 tập 1

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?

Đáp án:

a) Đúng, vì hình có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

b) Sai, vì đó là hình thang cân.

c) Đúng, vì tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

Bài 3.14. Trang 61 sgk toán 8 tập 1

Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong hình 3.35

Đáp án:

ABCD là hình bình hành $\Rightarrow  \widehat{A} = \widehat{C} = 100^{\circ}$ và $\widehat{ B} = \widehat{D}$.

Ta có : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{\circ}$

$\Rightarrow 100^{\circ} + 100^{\circ} + 2\widehat{B} = 360^{\circ}$

$\Rightarrow  \widehat{B} = \widehat{D} = 360^{\circ} - 100^{\circ}.2 : 2 = 80^{\circ}$

Bài 3.15. Trang 61 sgk toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh BF = DE

Đáp án:

ABCD là hình bình hành $\Rightarrow BE // DF$.

E là trung điểm AB, F là trung điểm CD.

$\Rightarrow AE = BE = FD = FC$

$\Rightarrow  DEBF$ là hình bình hành $(BE // DF ; BE = DF).$

$\Rightarrow  DE = BF$.

Bài 3.16. Trang 61 sgk toán 8 tập 1

Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành, vì sao?

Đáp án:

Hình a là hình bình hành vì: 

$\widehat{A} = \widehat{C} = 100^{\circ}; \widehat{ B} = \widehat{D} = 80^{\circ}$

Hình b không phải hình bình hành, vì :

$\widehat{B} = 360^{\circ} - 75^{\circ} - 75^{\circ} - 90^{\circ}  = 120^{\circ}  \neq \widehat{D} = 90^{\circ}$

Hình c là hình bình hành, vì :

$\widehat{C} = 360^{\circ} - 110^{\circ} - 110^{\circ} - 70^{\circ} = 70^{\circ} = \widehat{A}$

$\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{D} = 110^{\circ}$

Bài 3.17. Trang 61 sgk toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng…

Đáp án:

a) ABCD là hình bình hành $\Rightarrow AE // CF; AE // DF$

Mà E và F là trung điểm của AB và CD.

$\Rightarrow AE = EB = DF = FC$ 

Xét tứ giác AECF có: $\Rightarrow AE // CF$ và $AE = FC \Rightarrow AECF$ là hình bình hành.

Xét tứ giác AEFD có: $AE // DF$ và $AE = DF \Rightarrow AEFD$ là hình bình hành.

b) AFCE là hình bình hành (chứng minh trên) $\Rightarrow  AF = EC$

ADFE là hình bình hành (chứng minh trên ) $\Rightarrow EF = AD$ 

Bài 3.18. Trang 61 sgk toán 8 tập 1

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua…

Đáp án:

Xét ∆MOA và ∆NOC có:

$\widehat{MAO} = \widehat{NCO}$  (so le trong)

AO = CO

$\widehat{MOA} = \widehat{CON}$ (góc đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆MOA = ∆NOC (g.c.g)$

$\Rightarrow AM = CN.$ 

Mà $AB = CD \Rightarrow MB = DN.$

Ta có: BM // DN và BM = DN $\Rightarrow$ tứ giác MBND là hình bình hành.