Bài tập về chứng minh tia phân giác của góc

1. 

Ta có: $\widehat{AOB} = \widehat{BOC}=\widehat{COD} = \frac{1}{3}\widehat{AOD} = \frac{1}{3}.90^{\circ} = 30^{\circ}$

Vì OE là tia phân giác của góc AOB nên ta có: $\widehat{AOE}=\widehat{EOB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} = \frac{1}{2}.30^{\circ} = 15^{\circ}$

   OF là tia phân giác của góc COP nên ta có: $\widehat{COF}=\widehat{EOD} = \frac{1}{2}\widehat{COP} = \frac{1}{2}.30^{\circ} = 15^{\circ}$

OE và OF là hai tia phân giác của hai góc AOB và COD nên OE và OF nằm giữa hai tia OA và OD

Vậy $\widehat{AOE} + \widehat{EOF} + \widehat{FOD} = \widehat{AOD}$

$\Rightarrow \widehat{EOF} = \widehat{AOD} - \widehat{AOE} - \widehat{FOD} = 90^{\circ} - 15^{\circ} - 15^{\circ} = 60^{\circ}$

Vậy $\widehat{EOF} = 60^{\circ}$

2. 

Oy là tia phân giác của $\widehat{nOz}$ nên Oy nằm giữa hai tia On và Oz và : $\widehat{nOy}=\widehat{yOz}=30^{\circ}$. Vậy $\widehat{nOz}=60^{\circ}$

Tia On và Oy thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xz nên ta có $\widehat{xOn}$ và $\widehat{nOz}$ là hai góc kề bù nhau.

Ta có: $\widehat{xOn}+\widehat{nOz}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{xOn}+60^{\circ}=180^{\circ}$

$\Rightarrow a^{\circ} = \widehat{xOn}=120^{\circ}$

3. 

Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên: $\widehat{xOz} = \widehat{zOy}$ (1) 

Oz và Oz' là hai tia đối nhau nên zz' là một đường thẳng

Do đó ta có:

$\widehat{z'Ox}+\widehat{xOz}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) (2)

$\widehat{z'Oy}+\widehat{yOz}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{z'Ox} = \widehat{z'Oy}$

4. Ta xét hai trường hợp:

* Tia OB và OC cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA

Theo đầu bài tia OF nằm giữa hai tia OA và OB nên ta có: 

$\widehat{AOF}+\widehat{FOB}=\widehat{AOB}$

Thay số ta có: $45^{\circ}+\widehat{AOB}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{AOB}=15^{\circ}$

Vậy $\widehat{AOB}$ < $\widehat{AOC}$ nên tia OF nằm giữa hai tia OA và OC.

Mà lại có $\widehat{FOA}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}$ nên OF là tia phân giác của $\widehat{AOC}$

* Tia OB và OC thuộc hai nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA

Khi đó OA nằm giữa hai tia OB và OC, ta có:

$\widehat{BOA}+\widehat{AOC}=\widehat{BOC}$ = $30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$

Ta có: $\widehat{BOF} = 45^{\circ} < \widehat{BOA}= 60^{\circ}$ nên OF nằm giữa hai tia OA và OB mà OA nằm giữa OB và OC nên OF nằm giữa OB và OC

Mà $\widehat{BOF} = 45^{\circ} = \frac{1}{2}\widehat{BOC}$ nên OF là tia phân giác của $\widehat{BOC}$