Bài tập về vận dụng tính chia hết của số nguyên

3. Ta có:

 $3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7}+3^{8}+3^{9}$

= $(3+3^{2}+3^{3})+(3^{4}+3^{5}+3^{6})+(3^{7}+3^{8}+3^{9})$

= $1.(3+3^{2}+3^{3}) + 3^{3}.(3+3^{2}+3^{3}) + 3^{6}.(3+3^{2}+3^{3})$

= $(1 + 3^{3}+ 3^{6}).(3+3^{2}+3^{3})$

= $(1 + 3^{3}+ 3^{6}).39$

Do đó $3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7}+3^{8}+3^{9}$ chia hết cho -39.

4. Xét hiệu 5.(9a + 7b) - 9(5a + 2b) = 45a + 35b - 45a - 18b = 17b

Ta thấy 17b chia hết cho 17 nên hiệu 5.(9a + 7b) - 9(5a + 2b) (1)chia hết cho 17.

Nếu 9a + 7b chia hết cho 17 thì (1) suy ra 9(5a + 2b) chia hết cho 17.

Mà ƯC(9, 17) = 1 nên 5a + 2b chia hết cho 17

Nếu 5a + 2b chia hết cho 17 thì (1) suy ra 5(9a + 7b) chia hết cho 17.

Mà ƯC(5, 17) = 1 nên 9a + 7b chia hết cho 17

Vậy 5a + 2b chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9a + 7b chia hết cho 17

5. 

a, 2x - 5 = 2(x -1) - 3

Do đó 2x - 5 chia hết cho x - 1 thì 3 chia hết cho x - 1.

Nên x - 1 $\in $ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Vậy x $\in $ {-2; 0; 2; 4}

b, Có: $x^{2}+8$ = $(x^{2} +2x) - (2x + 4) + 12$ = x(x + 2) - 2(x + 2) + 12

x + 2 là ước số của $x^{2}+8$ nên x + 2 cũng là ước số của 12

Do đó x + 2 $\in $ Ư(12) = {-12; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}

Vậy x $\in $ {-14; -8; -6; -5; -4; -3; -1; 0; 1; 2; 4; 10}